Дифференциальные и интегральные уравнения (для 4-го семестра факультета "Т")

  1. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Теорема Ляпунова об устойчивости.
  2. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости.
  3. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости. Теорема об асимптотической устойчивости нулевого решения автономной системы.
  4. Теорема об эквивалентности устойчивости нулевого и произвольного решения ОСЛОДУ 1-го порядка с постоянными коэф-ми.
  5. Критерии устойчивости и асимптотической устойчивости ОСЛОДУ 1 го порядка.
  6. Исследование устойчивости методом ф-ий Ляпунова и по первому приближению.
  7. Поведение траекторий ОЛС двух ОДУ с постоянными коэф-ми. Случай detA?0 , ?1,?2 є R , ?1??2
  8. Поведение траекторий ОЛС двух ОДУ с постоянными коэф-ми. Случай detA?0, ?1,?2 є C
  9. Поведение траекторий ОЛС двух ОДУ с постоянными коэф-ми. Случай detA?0 , ?1 = ?2
  10. Поведение траекторий ОЛС двух ОДУ с постоянными коэф-ми. Случай detA=0
  11. Первые интегралы системы ОДУ. Критерий первого интеграла. Свойство первых интегралов.
  12. Первые интегралы системы ОДУ. Теорема об общем интеграле.
  13. Линейное однородное уравнение с частными производными. Теорема о частном решении.
  14. Линейное однородное уравнение с частными производными. Теорема об общем решении.
  15. Квазилинейное уравнение с частными производными. Общее решение. Задача Коши.
  16. Принцип сжимающих отображений (формулировка). Теорема существования и единственности решения нелинейного интегрального уравнения.
  17. Теорема о существовании и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма 2 рода.
  18. Итерированные ядра и резольвента интегрального уравнения Фредгольма 2 рода.
  19. Обобщенный принцип сжимающих отображений.
  20. Теорема о существовании и единственности решения интегрального уравнения Вольтера 2 рода.
  21. Эквивалентность интегрального уравнения Фредгольма 2 рода с вырожденным ядром СЛАУ.
  22. Теоремы Фредгольма для СЛАУ.
  23. Теоремы Фредгольма для интегрального уравнения Фредгольма 2 рода с вырожденным ядром. Нахождение характеристических чисел такого уравнения.
  24. Линейный ограниченный оператор. Норма и ее свойства.
  25. Линейный непрерывный оператор. Критерий непрерывности линейного оператора. Непрерывность интегральных операторов Фредгольма и Вольтера.
  26. Относительно компактное множество. Его ограниченность. Теорема Арцела (формулир)
  27. Вполне непрерывный оператор. Его ограниченность. Компактность интегральных операторов Фредгольма и Вольтера.
  28. Теорема о норме самосопряженного оператора. Свойства собственных значений и собственных элементов.
  29. Теорема о существовании ненулевого собственного значения у вполне непрерывного самосопряженного оператора.
  30. Спектр и резольвента линейного оператора. Теорема о резольвенте.
  31. Свойства собственных значений и собственных элементов вполне непрерывного самосопряженного оператора.
  32. Теорема Гильберта-Шмидта.
  33. Первая и вторая формулы Шмидта.
  34. Определение функции Грина. Теорема о ее существовании и единственности.
  35. Теорема Гильберта.